Codeforces1042D——线段树|树状数组|分治+尺取-白红宇

Codeforces1042D——线段树|树状数组|分治+尺取

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发布时间：2019-03-15

本文共 1737 字，大约阅读时间需要 5 分钟。

要解决这个问题，我们需要找到满足特定条件的二元组(l, r)，其中(l, r)的前缀和满足条件sum[r] - sum[l] < t。考虑到数组规模较大，我们采用树状数组配合前缀和和离散化的方法来优化解决过程。

方法思路

计算前缀和：首先计算数组a的前缀和数组sum。sum数组中的每个元素sum[i]表示从数组a的开头到第i个元素的和。

离散化：由于sum数组的值可能非常大，使用离散化方法将每个sum值映射到一个较小的连续范围内，方便树状数组处理。

树状数组：使用树状数组来动态维护前缀和值，快速查询满足条件的元素个数。对于每个r，计算目标值target = sum[r] - t，查询前缀和数组中sum[0..r-1]中小于target的元素个数，并将结果累加。

更新数据结构：将当前sum[r]插入树状数组，供后续处理。

解决代码

#pragma GCC optimize("fast-math")
#include 
   
    
#include 
    
     
#include 
     
      
#include 
      
       
#include 
       
        
#include 
         #include 
         
           #include 
          
            #include 
           
             using namespace std; struct FenwickTree { private: vector
            
              tree; int size; public: FenwickTree(int _size) : tree(size + 1, 0), size(_size) {} void update(int idx, ll delta) { while (idx <= size) { tree[idx] += delta; idx += idx & -idx; } } ll query(int idx) { ll res = 0; while (idx > 0) { res += tree[idx]; idx -= idx & -idx; } return res; } }; void main() { cin >> n >> t; vector
             
               a(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { cin >> a[i]; } vector
              
                sum(n + 1, 0); for (int i = 1; i <= n; ++i) { sum[i] = sum[i-1] + a[i]; } // 离散化sum数组 set
               
                 s; vector
                
                  sorted_vals; for (ll val : sum) { s.insert(val); } sorted_vals.assign(s.begin(), s.end()); map
                 
                   rank; for (int i = 0; i < sorted_vals.size(); ++i) { rank[sorted_vals[i]] = i + 1; // 1-based索引 } FenwickTree ft(n + 1); ll ans = 0; for (int r = 1; r <= n; ++r) { ll target = sum[r] - t; ll num = ft.query(rank[sum[r-1]]); ans += num; ft.update(rank[sum[r]], 1); } cout << ans << endl; }

代码解释

计算前缀和：使用循环计算前缀和数组sum。

离散化：将前缀和数组sum中的值映射到较小的连续整数范围内，方便树状数组处理。

树状数组初始化：创建树状数组对象，维护前缀和值的计数。

遍历每个r：计算目标值target，查询前缀和数组中sum[0..r-1]中小于target的元素个数，并累加到答案中。

更新数据结构：将当前sum[r]插入树状数组，维护动态更新。

这种方法通过树状数组的高效查询和更新操作，将问题的时间复杂度降低到O(n log n)，适用于大规模数据处理。

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